La maquinaria detrás de las funciones matemáticas

Cuando uno es introducido en el dinámico mundo de las funciones matemáticas, es esperable (y deseable) conocer algunas de los atributos comunes a todas ellas. Por ejemplo, toda función tiene un dominio, un recorrido y una expresión matemática que la define, y se mueve a lo largo del plano siguiendo las direcciones y sentidos que se le antojan (o que su definición le obliga a seguir; en este particular la función es análoga al raciocinio humano: ¿uno sigue un camino porque se le antoja hacerlo o porque la dualidad conciencia-inconciencia lo obliga?). Hay funciones más interesantes de estudiar que otras, sus gráficas pueden contener saltos (como las funciones de parte entera), quiebres (como la función valor absoluto), y también pueden clasificarse como cóncavas o convexas. Lo importante es no quedarse con la noción de función como una entidad matemática estática, quieta, inmóvil: una función tiene vida, como el trayecto que sigue el fuego a lo largo de una línea de pólvora. Pero, ¿qué es una función?

En esta gráfica animada se muestran una serie de funciones. La relación entre ellas no es azarosa, pero no es materia que debamos profundizar ahora.

En octavo año básico uno tiene una primera aproximación formal y rigurosa a las funciones. Es fácil entender qué es o como trabaja una función a través de una definición operacional. Una función matemática es como una máquina: uno le pasa un número, la máquina lo procesa y luego lo devuelve, bien sea igual, o bien convertido en algún otro número. En esta explicación se deja a un lado un concepto fundamental asociado a la función, que es el dominio, pero como solo constituye un acercamiento inicial, no es una aberración tan grande.

En esta primera aproximación formal, uno parte estudiando la función lineal, que vendría siendo una de las más sencillas. Un ejemplo de función lineal es la función identidad. Al entenderla como una máquina, observamos que es bastante floja: lo que hace es recibir un número, procesarlo en sus ruidosas entrañas y devolverlo tal cual. Si uno le pasa un 5 a la función, esta no hace más que devolver un 5. Si uno le pasa un -32, devuelve un -32; así de sencillo. De allí que se llame identidad: el valor que entra, es el mismo que sale.

Una función ligeramente más compleja que la anterior, podría ser la función sucesor. Siguiendo la misma lógica de la función anterior, lo que hace esta función es recibir un número real cualquiera (que se etiqueta como equis) y devolver el mismo número aumentado en una unidad (equis más uno). Es decir, si a la máquina le pasamos un 7, nos devuelve un 8. ¿Y si le pasamos un -6? Pues, un -5.

Asimismo, podríamos decir que cada máquina tiene una receta (una fórmula) que contiene las instrucciones con las operaciones que tiene que hacer sobre el número que ingresa. Por ejemplo, la función definida como f(x)=3x-4, toma el número original, lo multiplica por tres y al resultado le resta cuatro. ¿Dónde dice que se multiplica? Recuerda que en álgebra cuando un número acompaña a un factor literal, si no se observa ningún símbolo entre ellos, es porque se están multiplicando. ¿Y por qué primero se multiplica primero y se resta después? Por la prioridad de las operaciones. Entonces si en esta función (llamémosle f) ingresa un 4, como respuesta devuelve un 8 (ver Figura 1). Usando una analogía sociológica, podríamos decir que existe una especie de clases o estratos en que se ubican las operaciones matemáticas.

Figura. Diagrama de una función (representada como un engranaje)
que recibe un 4 y devuelve un 8.

Una función tiene varias representaciones semióticas asociadas a ella: una expresión algebraica como las que vimos antes, una gráfica trazada sobre un sistema de coordenadas, usualmente el plano cartesiano; un diagrama sagital y una tabla de valores (que sería la representación más débil, porque deja mucho a la imaginación). En este sentido, es fundamental que quien piensa una función sea capaz de establecer un vínculo real entre las distintas representaciones, porque todas ellas encarnan a la misma relación matemática entre números.

Retomemos ahora la idea del dominio de la función. Como se dijo antes, cuando uno entiende una función como una máquina que toma un número y lo devuelve igual o convertido en otro, uno debería preguntarse: ¿todas las máquinas aceptan cualquier número? La respuesta es no. Así como algunas máquinas expendedoras de bebidas solo aceptan monedas y no billetes (incluso algunas únicamente aceptan ciertos tipos de monedas), hay algunas funciones que solo aceptan algunos valores numéricos.

Por ejemplo, al estudiar la función raíz cuadrada, definida como f(x)=\sqrt{x}, la máquina no puede aceptar ciertos valores: en cierta forma, se podría decir que esta máquina no sabe qué hacer con los números negativos (su dominio está definido como \text{Dom} f(x)={\mathbb{R}}^{+} \bigcup \{0\}). ¿Por qué? Porque la raíz cuadrada está definida solamente para valores positivos o cero. No existe, por ejemplo, la raíz cuadrada de -25 (porque no hay un número real que multiplicado por sí mismo resulte -25)

Bauticemos algunas cosas: el dominio de una función es el conjunto formado por todos los números que la máquina puede y sabe procesar. Por otro lado, el recorrido de una función, sería el conjunto formado por todos los números que la máquina puede devolver como resultado (asociados a los del dominio). Asimismo, los números del dominio se llaman preimágenes y los del recorrido, imágenes. Por ejemplo, si en la función raíz cuadrada ingresa un 25 (como preimagen, con el prefijo pre porque aún no ha sido procesado), la máquina devuelve un 5 (como imagen, porque la máquina sabe que 5\cdot 5=25).

Con las funciones sucede algo curioso, y es que a veces la máquina tiene respuestas de sobra. El conjunto que resulta de unir todos los números del recorrido y estos sobrantes, se llama codominio. Matemáticamente, se denota que: \text{Rec} f(x)\subseteq \text{Cod} f(x). Entonces pueden ocurrir dos cosas: que el recorrido y el codominio tengan exactamente los mismos elementos constitutivos, o bien que el codominio tenga algunos extras. En una máquina expendedora de dulces, los números del codominio de una función que no pertenecen al recorrido son como productos que la máquina aún no sabe vender (no existe un botón para comprarlos o no se ha definido un precio para ellos).

Figura 2. Diagrama sagital asociado a cierta función matemática

En la Figura 2, se aprecia el diagrama sagital asociado a una cierta función f. En el lado izquierdo, el conjunto X representa el dominio de la función, es decir, todos los números que pueden ingresar a la máquina. En el lado derecho, el conjunto Y representa el codominio de la función, es decir, todos los números que tiene la máquina como respuestas posibles. Sin embargo, vemos que hay un elemento (el número 1) que no es respuesta para ningún valor del dominio. De allí la diferencia entre Recorrido y Codominio de la función. En este ejemplo, el recorrido estaría definido como \text{Rec} f=\{5,10,15\} y el codominio, como \text{Cod} f=\{1,5,10,15\}. De allí que el conjunto recorrido sea siempre subconjunto del codominio (y que en veces, cuando no sobran elementos, puedan ser iguales).

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