Del conjunto vacío a los números reales

En matemática, una de las construcciones teóricas que más revuelo generó fue la teoría de conjuntos, que, en pocas palabras, vino a reformular el concepto de número que hasta entonces se había conocido. Las bases de esta teoría fueron sentadas por Georg Cantor, Richard Dedekind y Gottlob Frege, tres matemáticos alemanes.

De alguna forma, en teoría de conjuntos, más que los números mismos, interesan los conjuntos y sus operaciones. Los números, sin embargo, están estrechamente relacionados con esta teoría, pues aparecen a través de un concepto denominado cardinal, que corresponde a la cantidad de elementos de un conjunto. Pero ¿qué es un conjunto? Uno puede decir que un conjunto es una colección de elementos, sin embargo, hay un conjunto que no tiene elementos: el conjunto vacío. Además, debemos decir que los conjuntos son también elementos. Por lo tanto, un conjunto puede estar conformado por otros conjuntos. Estas son condiciones básicas para poder continuar construyendo teoría sobre la teoría.

El conjunto de planetas del sistema solar estaría definido usando la simbología correspondiente como P = \{\text{Mercurio, Venus, Tierra, Marte, J\'upiter, Saturno, Urano, Neptuno}\}. Su cardinal (su cantidad de elementos) es 8. En términos matemáticos, #P=8. Además, se puede decir que es un conjunto finito porque la cantidad de elementos que lo conforman corresponde a un número natural (#P\in N) . También dijimos antes que existía un conjunto sin elementos: el conjunto vacío, que se denota \{ \} y se simboliza \emptyset, es decir, \emptyset=\{ \}. En teoría de conjuntos, es el primero que aparece de manera formal.

Figura 1. Conjunto A en una relación 1 a 1 con los primeros tres números naturales, que permite visualizar la manera de contar (o enumerar) sus elementos.

Retomemos una idea que mencionamos antes. El cardinal de un conjunto es la cantidad de elementos que dicho conjunto posee. Es difícil de explicar con palabras mediante una definición más operacional, porque se puede caer en un ciclo infinito (una especie de círculo vicioso). El número 3, es el cardinal de todo conjunto constituido por tres elementos. Por ejemplo, el conjunto A=\{a,b,c\}, formado por las tres primeras letras del abecedario tiene cardinal 3 pues lo conforman tres elementos. Su cardinal se escribe como \#A=3 (y se lee: el cardinal del conjunto A es tres).

El conjunto de los números reales tiene una cualidad especial: es denso. Esto se puede entender como que no existen vacíos o huecos entre dos números reales cualesquiera. Es tan así, que ni siquiera se puede hablar de números consecutivos, porque en este conjunto no existe esa noción. ¿Cuál es el número real consecutivo de 2, por ejemplo? ¿2,1? ¿2,01? ¿2,001? ¿2,0001? Creo que con el ejercicio anterior se capta la idea: el 2, en el conjunto de los números reales no tiene un número que se encuentre inmediatamente junto a él. En cambio, en otros conjuntos como el de los números naturales (que son los números que utilizamos para contar cosas), sí se puede hablar de números consecutivos. En este conjunto, definido como: \mathbb{N}=\{1,2,3,4,5, \ldots \}, se tiene que, por ejemplo, después del 4 está el 5, después del 5 está el 6, y no hay más. En otras palabras, en este conjunto, no hay otros números entre el 4 y el 5, tampoco entre el 5 y el 6, ni entre el 6 y el 7… (ver Figura 2). Se puede hablar de números consecutivos y no hay restricciones evidentes.

Figura 2. Recta asociada al conjunto de los números naturales.

De hecho, este tema es tratado en las propiedades de los conjuntos numéricos. En el conjunto de los números naturales, uno de los axiomas dice que todo número natural tiene sucesor y que además un número y su sucesor se dicen consecutivos. En el conjunto de los números reales, se tiene que entre dos números distintos existe siempre una cantidad infinita de otros números reales, propiedad que le otorga la cualidad de denso a este conjunto.

Mi definición para el conjunto de números naturales puede haber generado suspicacia en más de algún lector (y esa es la idea). Hay autores (y profesores) que insisten en que este conjunto incluye también al cero. Creo que resulta conveniente denominar a ese conjunto de números (el que contiene también al cero) como el conjunto de los números cardinales, ya que engloba los cardinales de todos los conjuntos que uno pueda imaginar y permite diferenciarlos con claridad. Un conjunto de cosas puede tener cardinal: 0, 1, 2, \ldots; es decir, puede tener 0 elementos, 1 elemento, 2 elementos, etc. En ese caso, el conjunto queda definido como: \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,4,5, \ldots \}, o bien, como \mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\}.

A esta altura ya debiese estar claro que los números corresponden a representaciones del cardinal de un conjunto (es decir, su cantidad de elementos). Uno puede construir el conjunto de los números cardinales, que definimos como \mathbb{N}_0 =\{0,1,2,3,\ldots\}, así:

Enunciado verbalEnunciado matemático
El conjunto vacío no tiene ningún elemento, por tanto, su cardinal es 0. #\emptyset = #\{\}=0
Como los conjuntos también son elementos, es posible construir un conjunto que tenga como único elemento al conjunto vacío: el conjunto unitario de vacío, solo tiene como elemento al conjunto vacío, es decir, tiene un único elemento, por tanto, su cardinal es 1. #\{\emptyset\}=1
Como \emptyset\neq \{ \emptyset\}, por axioma del par, podemos construir un conjunto que tenga como elementos al conjunto vacío y al conjunto unitario de vacío, es decir, tiene dos elementos, por tanto, su cardinal es 2.#\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=2
Asimismo, es posible construir un conjunto que tenga como elementos al conjunto vacío, al conjunto unitario de vacío y al conjunto conformado por ambos. Este conjunto tiene tres elementos, por tanto, su cardinal es 3. #\{ \emptyset,\{ \emptyset \}, \{ \emptyset ,\{ \emptyset \}\}\}=3
\vdots \vdots

Los conjuntos numéricos que uno aprende en el colegio (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos) están formados por infinitos elementos. El concepto de infinito, a pesar de que cotidianamente es utilizado muy a la ligera para referirse a un número muy grande (y no significa eso con exactitud), generó muchos dolores de cabeza a los matemáticos que intentaron comprenderlo y formalizarlo. Lo único que corresponde enunciar en esta lección respecto de él, es que existen distintos tipos de infinitos. Es decir, a pesar de que todos los conjuntos numéricos mencionados al principio de este párrafo tienen infinitos elementos, están asociados a distintos infinitos.

Pero, ¿cómo se puede entender la necesidad de conjuntos numéricos cada vez más grandes (en cardinal, es decir, con más elementos)? Pensémoslo de la siguiente forma. Tomemos el conjunto de los números naturales y una operación matemática: la resta. Uno puede imaginar un montón de restas que se pueden resolver usando de forma exclusiva los números naturales. Por ejemplo, 15-8=7, donde todos los números involucrados son precisamente naturales. Otro ejemplo, 23-5=18. Solo naturales. ¿Qué pasa con la resta 2-5? Para quienes recuerdan bien los contenidos del colegio, la respuesta aflora casi inmediata: -3. El problema es que, en el conjunto de los números naturales, que ya definimos antes como \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots \} , el -3 ni siquiera se conoce. Mis alumnas se ríen cuando les digo que, al hacer esta resta sobre los números naturales, uno parte caminando por encima de la recta numérica hacia la izquierda y de pronto se cae a un precipicio (ver Figura 3).

Figura 3. Representación gráfica de la operación 2-5 sobre los números naturales.

Para poder resolver este problema (y muchos otros), se hace necesario construir un conjunto numérico más grande que contenga respuestas para cálculos tan inofensivos como la resta 2-5.

Este problema también se puede expresar a través de la ecuación x+5=2, que se puede leer como: ¿Qué número sumado con cinco resulta dos? Ningún número natural resuelve este sencillo problema.

A raíz de ello, surge la necesidad de un conjunto un poco más amplio (en tanto reúne más números): el de los números enteros , definido como: \mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}. Con la infinita cantidad de números que, el conjunto de números enteros, añade al de los números naturales (todos los números negativos y el cero), podríamos afirmar que hemos resuelto una cantidad infinita de nuevos problemas. La diferencia 2-5 ya no es una dificultad: el resultado es -3.

Figura 4. Representación de la resta 2-5 en la recta numérica

Sin embargo, existe otro tipo de problemas que no se pueden resolver en el conjunto de los enteros y que tiene que ver con las divisiones.

Hay infinitas divisiones que uno puede resolver de forma satisfactoria sobre los números enteros. Por ejemplo, no hay problema en efectuar la operación 8\div 2, cuyo resultado es 4. Sin embargo, si queremos calcular el resultado de 15\div 2, nos enfrentamos a un problema: no se encuentra un resultado entre los números enteros. Entonces, es necesario un conjunto un poco más grande aún.

Este problema también se puede expresar a través de una ecuación. Por ejemplo, la ecuación: x\cdot 2=15, que se lee: ¿Qué número multiplicado por dos resulta quince?

Este conjunto más grande es el de los números racionales, que se define por comprensión como \mathbb{Q}=\{\dfrac{a}{b}\/a,b\in\mathbb{Z},b\neq 0\}. Es decir, está formado por todos los números que se pueden escribir como fracción. Eso incluye a los números enteros, a las fracciones y los números decimales (estos últimos dos, en el fondo, son formas distintas de representar lo mismo). Sobre este conjunto, y usando las cuatro operaciones básicas, es posible resolver una cantidad ilimitada de problemas numéricos. Sin embargo, a pesar de los esfuerzos hechos hasta este punto por construir un conjunto lo suficientemente amplio para satisfacer todas las necesidades, sigue habiendo problemas que no se pueden resolver.

Por ejemplo, si queremos usar el teorema de Pitágoras, aquel enunciado que funciona para todos los triángulos con un ángulo recto (un ángulo de 90°), nos encontraremos con algunos problemas que, dentro del conjunto más grande que hemos revisado hasta ahora (el de los racionales), no tienen solución.

Primero recordemos que el teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo (es decir, un triángulo con un ángulo recto) la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En términos matemáticos, si las medidas de los catetos son a y b, y la medida de la hipotenusa es c, entonces se tiene que a^2+b^2=c^2 (ver Figura 5).

Figura 5. Triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c

De forma equivalente, el teorema de Pitágoras se puede enunciar así: la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos del triángulo es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa (ver Figura 6). ¿Por qué? Porque en un cuadrado de lado l, el área se calcula elevando dicha medida a la segunda potencia, es decir, l^2. Suelo decir a mis alumnas que, para recordar cómo calcular la medida (de la superficie) de esta figura, tengan en mente su nombre: cuadrado. Así, toman en lado de la medida del cuadrado y lo elevan, justamente, al cuadrado.

Figura 6. Triángulo rectángulo con cuadrados construidos sobre sus lados.

Consideremos un triángulo rectángulo muy simple, con catetos de medida 1 y 1 (en cualquier unidad de medida que uno desee; centímetros, por ejemplo), siendo los catetos los lados de la figura que abrazan al ángulo recto.

Figura 7. Triángulo rectángulo con catetos de medida 1.

En este caso, si medimos la hipotenusa del triángulo (el tercer lado) con una regla, es probable que nos quedemos con que mide 1,4 veces la unidad de medida que elegimos. Si las medidas de los catetos están expresadas en centímetros, entonces 1,4 cm. Ahora bien, si tuviésemos la oportunidad de medir la hipotenusa con un instrumento de medición ideal, es decir, uno que no tenga limitaciones frente al continuo del espacio, nos daríamos cuenta de que la medida es un poco menos inexacta, por así decirlo. La medida es en realidad algo así como: 1,4142135623730950488016887242096980785\ldots cm. En definitiva, podríamos estar escribiendo cifras decimales durante toda una vida y aun así no terminar de hacerlo.

Matemáticamente, el teorema de Pitágoras, para este triángulo en particular, se utilizaría así:

1^2+1^2=c^2

Expresión equivalente a:

2=c^2

Donde podemos despejar el valor de c, utilizando la nunca bien ponderada (ni bien enseñada) raíz cuadrada. Obtenemos entonces que:

c=\sqrt{2}=1,4142135623\ldots

Este tipo de números se conoce como decimales infinitos no periódicos (decimales, porque después de la coma hay más que solo ceros; infinitos, porque la cantidad de cifras decimales no se puede asociar a un número; no periódicos, porque lo que viene después de la coma no sigue ningún patrón de repetición, no hay una cantidad que se repita varias veces como sí ocurre en los decimales periódicos).

Entonces, así como en los naturales, el problema venía dado por la resta, y en los enteros, por la división, en el conjunto de los números racionales, la dificultad aparece a la hora de calcular raíces cuadradas. En el ejemplo, el 1,4142135623\ldots no es un número racional porque simplemente es imposible escribirlo como una fracción. De ahí que la raíz de 2 se diga un número irracional. ¿Será que ha perdido la cabeza?

El conjunto de los números irracionales, denotado por Q^c (leído cu complemento o el complemento de cu), está conformado por todos aquellos números que NO se pueden escribir como fracción. Acabamos de conocer uno: la raíz de dos, pero hay muchos otros: raíz de tres (\sqrt{3}), pi (\pi), phi (\phi), raíz de cinco más dos (\sqrt{5}+2) y todos los que puedas imaginar.

Ahora bien, cuando uno define a los elementos del conjunto de los números como todos aquellos que no se pueden escribir como fracción, hay quienes observan lo siguiente: si tomo la raíz de dos, que ya vimos que era un irracional, y lo escribimos como \dfrac{\sqrt{2}}{1}, ¡bingo! Lo hemos convertido en un racional, ¿o no? La respuesta es no. Recordemos que la definición por especificación del conjunto de números racionales obliga a que tanto el numerador (el número de arriba) como el denominador (el número de abajo) de cada uno de sus elementos sean números enteros. En este caso, el denominador satisface el requisito: es un número entero, pero, por lamentable que parezca, la raíz de dos no lo es, por lo tanto, \dfrac{\sqrt{2}}{1} no es un racional.

Es así como, finalmente, aparece un conjunto que pareciera ser suficiente para resolver casi todos los problemas cotidianos que alguien que no se dedique de forma profesional a la matemática pudiese tener que resolver en algún momento de su vida: el conjunto de los números reales, que no es más que una mezcla de dos conjuntos previos. El conjunto de los números reales se define como la unión entre el conjunto de los números racionales y el de los irracionales. Matemáticamente, \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}^c. En palabras más simples, los números reales son tanto aquellos que se pueden escribir como fracción, como los que no.

Figura 8. Distribución de los conjuntos numéricos enunciados. Aclaración: El conjunto de los números reales está conformado únicamente por los números racionales e irracionales, a pesar de que en el diagrama pudiera parecer que hay otros números además de estos. Asimismo, se omitió el conjunto de los números cardinales, porque lo único que lo diferencia de los naturales es la incorporación del cero.

La interrogante que pudiese surgir (a pesar de que ya fue respondida más arriba de manera implícita) es si existen o no otros conjuntos numéricos aún más grandes. La respuesta, en este caso, es afirmativa. Solo dos ejemplos: los números complejos y los cuaterniones, ambos que resultan de una extensión de los números reales. Abusando grotescamente del lenguaje matemático, pudiésemos decir que los números complejos son números de dos dimensiones (que resultan de cruzar dos números reales y vincularlos de alguna manera con la unidad imaginaria, que les da la cualidad de complejos), cuando en verdad lo que deberíamos decir es que forman un espacio vectorial bidimensional sobre \mathbb{R}. Pero así suena bastante más complicado, ¿no?

Me gustaría cerrar con una reflexión: que los números reales se llamen así, no significa que uno se los pueda encontrar un día caminando por la calle: los números, de cualquier conjunto (naturales, enteros, racionales, etc.), son ideas abstractas, representadas a través de un símbolo que está asociado, como vimos, al cardinal de un conjunto.

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