La maquinaria detrás de las funciones matemáticas

Cuando uno es introducido en el dinámico mundo de las funciones matemáticas, es esperable (y deseable) conocer algunas de los atributos comunes a todas ellas. Por ejemplo, toda función tiene un dominio, un recorrido y una expresión matemática que la define, y se mueve a lo largo del plano siguiendo las direcciones y sentidos que se le antojan (o que su definición le obliga a seguir; en este particular la función es análoga al raciocinio humano: ¿uno sigue un camino porque se le antoja hacerlo o porque la dualidad conciencia-inconciencia lo obliga?). Hay funciones más interesantes de estudiar que otras, sus gráficas pueden contener saltos (como las funciones de parte entera), quiebres (como la función valor absoluto), y también pueden clasificarse como cóncavas o convexas. Lo importante es no quedarse con la noción de función como una entidad matemática estática, quieta, inmóvil: una función tiene vida, como el trayecto que sigue el fuego a lo largo de una línea de pólvora. Pero, ¿qué es una función?

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Del conjunto vacío a los números reales

En matemática, una de las construcciones teóricas que más revuelo generó fue la teoría de conjuntos, que, en pocas palabras, vino a reformular el concepto de número que hasta entonces se había conocido. Las bases de esta teoría fueron sentadas por Georg Cantor, Richard Dedekind y Gottlob Frege, tres matemáticos alemanes.

De alguna forma, en teoría de conjuntos, más que los números mismos, interesan los conjuntos y sus operaciones. Los números, sin embargo, están estrechamente relacionados con esta teoría, pues aparecen a través de un concepto denominado cardinal, que corresponde a la cantidad de elementos de un conjunto. Pero ¿qué es un conjunto? Uno puede decir que un conjunto es una colección de elementos, sin embargo, hay un conjunto que no tiene elementos: el conjunto vacío. Además, debemos decir que los conjuntos son también elementos. Por lo tanto, un conjunto puede estar conformado por otros conjuntos. Estas son condiciones básicas para poder continuar construyendo teoría sobre la teoría.

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